グラフの接線の傾きを求めるには

なぜ極限(lim)が必要なのか

接点はわずか1点しかない。

なので接線の傾きを求めるには極限まで曲線と傾きを求める直線の範囲を近づけなければならない。

↑この画像だと、x=5くらいの接線の傾きを求めている。

極限を使って微分をする

上のグラフの接線の傾きを求めたい場合、

求めたい点をのx座標をaとして、もう一つ近づけるための点のx座標bを用意する。

そこから極限までaをbに近づける。

これを

lim（リミット）

b→aと表す。

傾きの出し方　f(b)-f(a)/b-a　と一緒に使って

lim_b→af(b)-f(a)/（b-a）になる。

f(x)=xの2乗なら

bの2乗-aの2乗/b-a

↓

2乗マイナス2乗なので因数分解して(b+a)(b-a)/b-a

↓b-aが消えて 

b+a

そしてbをaに極限まで近づければb+a=2aなので、接線の傾きはは2a

a=5の上の図なら傾きは10になる。

つまりlim_b→af(b)-f(a)/（b-a）が微分の定義である。

ここのaにx、f()に関数を入れて計算すれば微分ができる。

変形として

⊿x=b-a,x=aとおき、

lim⊿x→0 f(x+⊿x)-f(x)/⊿xというものがある。（こっちの方が便利）

結局自分で書いてみても説明し難いがニコニコ大百科を見れば絶対にわかると思う。